Как выполнить неявное дифференцирование (NancyPi)
Выпускник MIT показывает, как выполнить неявное дифференцирование для нахождения dy/dx (вычислительный анализ). Чтобы перейти дальше: 1) Для простого примера с использованием правила возведения в степень перейдите к моменту 3:57. 2) Для примера с использованием тригонометрической функции и правила произведения перейдите к моменту 7:20. Нэнси, ранее публиковавшаяся в MathBFF, объясняет шаги. Подпишитесь на Нэнси в Instagram: / nancypi Twitter: / nancypi Что такое неявное дифференцирование? До сих пор большинство функций, которые вам приходилось дифференцировать, вероятно, были записаны ЯВНО как функции x, например, y = x^2. Однако, если функция y записана НЕЯВНО как функция x, например, x^2 + y^2 = 9, вам потребуется использовать неявное дифференцирование для нахождения производной dy/dx. Единственное отличие состоит в том, что при каждом вычислении производной y необходимо также умножить её на dy/dx. Причина в том, что y зависит от x. Можно считать, что y содержит внутри себя некоторое выражение x, поэтому неявное дифференцирование — это, по сути, частный случай цепного правила, в котором необходимо взять внешнюю производную, но также умножить на внутреннюю производную, которая в данном случае равна dy/dx. Вот шаги для выполнения неявного дифференцирования для нахождения DY/DX: 1) ВОЗЬМИТЕ ПРОИЗВОДНУЮ ОТ ОБЕИХ СТОРОН, УМНОЖАЯ НА DY/DX каждый раз, когда берётся производная от Y: Первый шаг — взять производную от обеих сторон уравнения по x, но добавить dy/dx, если вы когда-либо берёте производную от y. Например, чтобы неявно продифференцировать уравнение x^2 + y^2 = 9, возьмите производную от обеих сторон по x. В левой части производная члена x^2 равна просто 2x. Чтобы продифференцировать член y^2, в данном случае сначала воспользуйтесь правилом степенной функции, чтобы получить 2y, а ЗАТЕМ, поскольку y зависит от x, необходимо умножить член на dy/dx, чтобы получить y^2 умножить на dy/dx. Не забудьте также продифференцировать правую часть исходного уравнения, которая была константой 9, поэтому производная равна 0. Ваше новое продифференцированное уравнение будет выглядеть так: 2x плюс y^2 dy/dx = 0. 2) ПОЛУЧИТЕ ТОЛЬКО DY/DX В ОДНОЙ ЧАСТИ: Третий шаг — найти dy/dx, или, другими словами, получить только dy/dx в одной части уравнения. Далее, РАСПРЕДЕЛИТЕ И РАЗВЕРНИТЕ ОБЕ ЧАСТИ, если необходимо, распределяя или раскрывая все члены в скобках. Затем, если dy/dx встречается более чем в одном члене, объедините эти члены в одной части и используйте ПРИЕМ УПРОЩЕНИЯ, ВЫНЕСЕННЫЙ НА DY/dx, чтобы он появился только один раз в этой части. Наконец, РАЗДЕЛИТЕ любой множитель, который в данный момент умножается на dy/dx, так, чтобы в одной части остался только dy/dx, а уравнение выглядит так: dy/dx = какое-то другое выражение. ПРИМЕЧАНИЕ: Умножайте на dy/dx только в том случае, если вы берёте производную от y. В более сложных примерах, таких как второй пример в этом видео, вам не нужно добавлять dy/dx, если вы просто умножаете на y. Например, при дифференцировании члена типа xy, использование правила произведения даёт x умножить на dy/dx плюс y. Обратите внимание, что во втором члене правила произведения не было необходимости добавлять dy/dx к y, поскольку вы не берёте производную от y в этом члене. Больше моих видео по исчислению и математике можно посмотреть по ссылке: http://nancypi.com
