Больше правил цепочки (NancyPi)

Выпускник Массачусетского технологического института показывает, как использовать цепное правило для экспоненциальных, логарифмических и корневых функций, а также как использовать цепное правило с правилом произведения для нахождения производной. Чтобы перейти дальше: 4) Пример с экспоненциальной функцией, требующей цепного правила для вычисления производной, переходите к отметке 0:32. 5) Пример с натуральным логарифмом переходите к отметке 2:34. 6) Пример с квадратным корнем переходите к отметке 4:41. 7) Чтобы узнать, как использовать цепное правило с правилом произведения и как определить, какое из них использовать первым, переходите к отметке 7:17. Чтобы узнать, КАК и КОГДА использовать цепное правило, перейдите к моему ПЕРВОМУ видео о цепном правиле:    • The Chain Rule... How? When? (NancyPi)  . Нэнси, ранее работавшая с MathBFF, объясняет шаги. Поддержите Нэнси на Patreon:   / nancypi   Подпишитесь на Нэнси в Instagram:   / nancypi   Подпишитесь на Нэнси в Twitter:   / nancypi   ПРАВИЛО ЦЕПНОЙ ФИКСАЦИИ — одно из правил производной. Оно необходимо для вычисления производной, когда функция находится внутри другой функции, или «составной функции». Это видео начинается с конца первого видео о правиле цепной функции («Правило цепной функции... Как? Когда?» по ссылке    • The Chain Rule... How? When? (NancyPi)  ) и показывает больше примеров использования правила цепной функции, а также как сочетать его с правилом произведения. Чтобы узнать больше о том, как вычислять производные, перейдите по ссылке:    • Derivatives... How? (NancyPi)   4) ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФИКСАЦИЯ: в примере y = e^(3x) сначала вычисляется производная внешней функции (показательной функции e). Производная показательной функции — это сама показательная функция. При записи внешней производной оставьте внутреннюю функцию (3x) без изменений, поэтому запишите e^(3x). Затем, по правилу цепочек, умножьте на производную только внутренней функции (3x). Поскольку внутренняя производная равна 3, ответ для полной производной dy/dx равен 3e^(3x). 5) Пример с натуральным логарифмом: Чтобы найти производную y = ln(5x), выполните те же шаги, что и выше, чтобы сначала взять внешнюю производную, а затем умножить на внутреннюю производную. 5x находится внутри натурального логарифма. Внешняя функция здесь — это натуральный логарифм ln. Чтобы взять производную натурального логарифма чего-либо, мы записываем 1 по этому чему-либо, то есть 1 по 5x. Мы оставляем внутреннюю функцию в покое при записи внешней производной, поэтому записываем 1/(5x). Помните, что мы ещё не закончили. Нам также нужно умножить на производную внутренней функции. Производная 5x равна всего 5, поэтому наш окончательный упрощённый ответ для dy/dx равен 1/x. 6) Пример с квадратным корнем: В этом примере y = sqrt(x^2 + 1), где x^2 + 1 находится под квадратным корнем. Квадратный корень — это внешняя функция. Если у вас есть корень любого вида, перед вычислением производной проще всего переписать его в виде дробной степени, чтобы можно было использовать ПРАВИЛО СТЕПЕНИ при вычислении производной. Внешняя функция здесь — это степень 1/2, а внутренняя — x^2 + 1. Чтобы вычислить производную от внешней половинной степени, мы используем правило степени, чтобы перенести степень 1/2 вперёд и уменьшить старую степень 1/2 на 1. Затем мы умножаем на внутреннюю производную и после упрощения получаем производную y' = x / sqrt(x^2 + 1). Здесь я использовал нотацию Лагранжа (y') для производной вместо нотации Лейбница (dy/dx), как раньше. Чтобы ознакомиться с правилом степени, перейдите к моему видео по ссылке:    • Power Rule... How? (NancyPi)   7) ПРАВИЛО ЦЕПНОЙ ИНФОРМАЦИИ С ПРАВИЛОМ ПРОИЗВЕДЕНИЯ: Иногда может потребоваться использовать правило цепной функции в сочетании с правилом произведения. Как узнать, следует ли сначала применять правило цепной функции или правило произведения? В этом примере y = x^3 (2x - 5)^4, хотя для второго множителя здесь потребуется правило цепной функции для его производной, в целом, в самом широком представлении этой функции мы имеем произведение двух множителей. Поэтому сначала применим правило произведения к двум множителям, а затем правило цепной функции внутри правила произведения. Однако в примере типа ln[x^3 (2x - 5)^4)] сначала нужно применить правило цепной функции к ln-форме, а затем, поскольку внутренняя функция является произведением, после этого потребуется правило произведения. По сути, первое, что вам нужно сделать, — это использовать всё необходимое для обработки внешней формы вашей функции. Дополнительную помощь и видео по исчислению можно найти на сайте: http://nancypi.com
Редактор: Мириам Нильсен из zentouro    / zentouro