Правило цепочки... Как? Когда? (НэнсиПи)

Выпускник Массачусетского технологического института показывает, как использовать правило цепочек для нахождения производной и КОГДА его использовать. Чтобы перейти дальше: 1) Чтобы узнать, как использовать ПРАВИЛО ЦЕПОЧКИ или правило «СНАРУЖИ-ВНУТРИ», перейдите к отметке 0:17. 1b) Чтобы узнать, КОГДА НУЖНО правило цепочек, перейдите к отметке 4:35. 2) Чтобы посмотреть другой пример с ПРАВИЛОМ СТЕПЕНИ в правиле цепочек, перейдите к отметке 7:05. 3) Чтобы посмотреть пример правила цепочек производной TRIG, перейдите к отметке 9:33. 3b) Чтобы посмотреть ФОРМУЛУ формального правила цепочек, перейдите к отметке 11:36. P.S. Чтобы посмотреть пример ПРАВИЛА ДВОЙНОЙ ЦЕПОЧКИ (или «повторного использования правила цепочек»), перейдите к отметке 13:33. Нэнси, ранее работавшая в MathBFF, объясняет шаги. Подпишитесь на Нэнси в Instagram:   / nancypi   Twitter:   / nancypi   1) ПРАВИЛО ЦЕПНОЙ ЛИНИИ — одно из правил вычисления производной. Оно необходимо для вычисления производной, когда функция находится внутри другой функции, или «составной функции». Например, в уравнении y = (3x + 1)^7, поскольку функция 3x+1 находится внутри большей, внешней функции, степени 7, вам понадобится правило цепной ЛИНИИ для нахождения правильной производной. Как использовать правило цепной ЛИНИИ? Его можно представить как правило «ВНЕШНЕЙ-ВНУТРИ»: сначала вычисляется ПРОИЗВОДНАЯ ТОЛЬКО ВНЕШНЕЙ функции, ОСТАВЛЯЯ ВНУТРЕННЮЮ ФУНКЦИЮ нетронутой (неизменной), затем УМНОЖАЕТСЯ НА ПРОИЗВОДНУЮ ТОЛЬКО ВНУТРЕННЕЙ функции. Иногда это можно услышать в такой формулировке: взять производную внешней функции, «вычисленную по внутренней функции», умножить на производную только внутренней функции. В нашем примере сначала вычислим производную внешней функции (степень 7), чтобы получить 7*(3x + 1)^6, поскольку «правило степенной функции» для производной предписывает перенести степень в начало уравнения (как константу или коэффициент, просто умноженный в начале), а затем уменьшить степень на 1, что оставит степень 6. Обратите внимание, что вы оставили внутреннюю функцию как есть и просто переписали её. Затем умножаем на производную только внутренней функции, 3x + 1. Поскольку производная 3x + 1 равна 3, полная производная (dy/dx) равна: 7*[(3x + 1)^6]*3, что равно 21(3x + 1)^6. 1b) КАК узнать, КОГДА ИСПОЛЬЗОВАТЬ цепочку уравнений? Если бы исходное уравнение состояло только из x^7, цепочка уравнений была бы не нужна. Когда внутри функции есть что-то большее, чем просто x, следует использовать правило цепной функции, например, (3x + 1)^7 или даже (x^2 + 1)^7. Иногда правило цепной функции может не иметь значения. Например, если у вас есть функция (x + 1)^7, то взятие производной внутренней функции даёт всего лишь 1, поэтому умножение на эту внутреннюю производную 1 не изменит общий ответ. Тем не менее, цепная функция в любом случае не повредит, поэтому полезно привыкнуть к ней, чтобы не забыть её, когда она действительно будет иметь значение. 2) Ещё один пример ПРАВИЛА СТЕПЕНИ ЦЕПНОЙ ИНТЕГРАЦИИ: Чтобы найти производную функции h(x) = (x^2 + 5x - 6)^9, выполните те же шаги, что и выше, сначала взяв внешнюю производную, а затем умножив на внутреннюю производную. В этом случае производная dh/dx (или h'(x)) равна 9(x^2 + 5x - 6)^8 * (2x + 5). Применение правила дифференцирования цепочек функций вместе с правилом степенной функции иногда называют «правилом дифференцирования цепочек функций». 3) ПРИМЕР С ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕЙ: идея та же, что и выше, даже если вы используете правило дифференцирования цепочек функций для дифференцирования чего-то вроде тригонометрической функции. Если в тригонометрической функции есть что-то большее, чем просто x, вам понадобится правило дифференцирования цепочек функций для нахождения производной. Для уравнения y = sin(x^2 - 3x) сначала берётся производная внешней функции, а именно синуса. Поскольку производная синуса — это косинус, внешняя производная (при неизменной внутренней) равна cos(x^2 - 3x). Затем находим производную только внутренней части (только части x^2 - 3x) и умножаем на неё. Поскольку производная x^2 - 3x равна 2x - 3, то полный ответ для производной: dy/dx = cos(x^2 - 3x)*(2x - 3). 3b) ФОРМУЛА: Хотя проще рассматривать правило цепочек уравнений как «правило снаружи-внутрь», если по какой-либо причине вам необходимо использовать формальную формулу правила цепочек уравнений, ознакомьтесь с двумя представленными здесь версиями. Обе основаны на том, что уравнение представляет собой композицию функций f(g(x)). Вторая версия использует обозначения Либница. В любом случае, обе показывают компонент производной, полученный из внутренней функции, и важно не забыть умножить на этот внутренний производный множитель, чтобы получить правильный ответ для полной производной. P.S.) ПРАВИЛО ДВОЙНОЙ ЦЕПОЧКИ: Иногда может потребоваться использовать правило цепочек уравнений более одного раза, что называется «повторным использованием правила цепочек уравнений». В уравнении y = (1 + cos2x)^2 вам...