Лекция 1 | Теорема Атьи-Зингера об индексе | Иван Воробьев

16.07.2025 На первой лекции рассмотрели конечномерные *-алгебры: Дали первые примеры; Определи представления *-алгебр и примитивный спектр *-алгебр [в терминах неприводимых представлений]; Доказали лемму Шура; Увидели двойственность Гельфанда для конечных пространств; Определили гильбертовы бимодули [элементы KK_f(A,B)], их произведение Каспарова и Морита эквивалентность; Доказали "двойственность Гельфанда" для конечномерных некоммутативных *-алгебр: Алгебры Морита эквивалентны iff их спектры гомеоморфны; Построили первые примеры спектральных троек, приходящие из конечных метрических пространств; Доказали формулу Конна для метрики; Определили бимодуль 1-форм, а затем и связности на бимодуле [как поправки, возникающие при переносе структуры спектральной тройки вдоль Морита эквивалентности], показали базовые примеры и свойства. [Можно посмотреть в деталях во второй главе Noncommutative Geometry and Particle Physics от Walter D. van Suijlekom] В следующий раз планируется рассмотреть, что как аппарат для работы с конечномерными *-алгебрами продолжает функционировать для алгебр непрерывных/гладких функций, привести примеры связностей на расслоениях [для этого потребуется предварительно разобрать базовые сведенья об алгебрах Клиффорда] и, если успеем, разобрать теорему Атьи-Янича для относительной К-теории [но что будет на лекции точно, можно будет узнать только на лекции...]