Вероника Киктева. Гибкость орисферических многообразий
Доклад основан на совместной с С. А. Гайфуллиным работе. Далее K — алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики и G_a = (K, +) — его аддитивная группа. Алгебраическое многообразие X называется гибким, если касательное пространство в каждой его регулярной точке порождено касательными векторами к орбитам регулярных действий группы G_a. Для неприводимого аффинного многообразия X размерности не меньше 2 гибкость эквивалентна транзитивности, а также бесконечной транзитивности действия SAut(X) на множестве гладких точек. Здесь под SAut(X) подразуме- вается группа специальных автоморфизмов многообразия X, то есть подгруппа в группе автоморфизмов, порождённая всеми алгебраическими подгруппами, изоморфными аддитивной группе поля G_a. Многие известные классы многообразий являются гибкими. К примеру, работа Ivan Arzhantsev, Mikhail Zaidenberg, and Karine Kuyumzhiyan "Flag varieties, toric varieties, and suspensions: three examples of infinite transitivity" содержит три класса гибких многообразий. Первый класс образуют нормальные аффинные конусы над многообразиями флагов, второй — невырожденные нормальные торические многообразия, третий — итерированные надстройки над гибкими аффинными многообразиями. Также некоторые результаты о гибкости получены для векторных расслоений, аффинных конусов над проек- тивными многообразиями, универсальных торсоров, поверхностей Гизатуллина, пространств Калоджеро–Мозера. Подробнее об этом см. в обзоре Vladimir Popov and Ernest Vinberg "On a class of quasihomogeneous affine varieties". Неприводимое многообразие называется орисферическим, если оно допускает такое действие связной линейной алгебраической группы G, что стабилизатор точки общего положения содержит максимальную унипотентную подгруппу G. Мы говорим, что орисферическое многообразие имеет сложность 0, если действие группы G на X имеет открытую орбиту O. Отметим, что в данном определении мы не требуем нормальности X. Далее мы подразумеваем, что орисферические многообразия имеют сложность 0. Невырожденные нормальные аффинные орисферические многообразия все- гда гибкие. Здесь под невырожденностью подразумевается отсутствие обратимых регулярных функций кроме констант. Также в работе А. А. Шафаревича "Гибкость S-многообразий полупростых групп" доказана гибкость не обязательно нормальных орисферических многообразий с действием полупростой группы. Если мы отказываемся от требования нормальности, появляются примеры не гибких многообразий, критерий гибкости произвольных торических многообразий был найден в работе И. А. Болдырева, С. А. Гайфуллина "Автоморфизмы ненормальных торических многообразий". В настоящем докладе мы обсудим критерий гибкости не обязательно нормальных аффинных орисферических многообразий с действием произвольной группы, обобщающий данные результаты.
