Задача на нахождение предела определённого интеграла, зависящего от параметра

Найти предел определённого интеграла на промежутке интегрирования от 0 до 2022 от функции sqrt(x*(1+cos(a*x))) по x при a, стремящемся к "плюс бесконечности". Делаем замену переменной интегрирования t=a*x, тем самым избавляясь от параметра в подынтегральной функции, но, при этом, получая параметр в верхнем пределе интегрирования. Затем выполняем замену параметра b=2022*a. Теперь уже требуется найти предел при b, стремящемся к "плюс бесконечности". Вносим функцию sqrt(1+cos(t)) под знак дифференциала, в результате чего получаем дифференциал функции F(t), являющейся первообразной функции sqrt(1+cos(t)) и удовлетворяющей условию F(0)=0. Функцию F(t) выражаем через интеграл с переменным верхним пределом. Выполняем интегрирование по частям и, применив правило Лопиталя, получаем, с точностью до множителя, предел отношения F(b)/b при b, стремящемся к "плюс бесконечности". Находим этот предел, используя свойства функции F(t).