ТФКП. Исследовать характер особых точек функции ctg(1/z) и характер бесконечно удаленной точки.

#laurent #вычеты #residues #демидович #коши #чудесенко #тфкп #интеграл #ряды #Лоран #тейлор #Taylor #Integral #Integrals #Cauchy #Riemann #Integration #Complex #Series #Zeros #Singularities #Trigonometric #Hyperbolic #Functions #Logarithms #Powers #Analytic #Limits #Equations Сводная таблица с формулами вычетов и классификацией особых точек здесь: https://drive.google.com/file/d/1yDYr...
Все особые точки, КРОМЕ z=0 для функции ctg(1/z), можно исследовать, как всегда, двумя способами: По поведению функции в окрестности данной точки (по пределам) и по виду ряда Лорана. Но в обоих случаях надо, чтобы точка была ИЗОЛИРОВАННОЙ от других особых точек. Это значит, что должна существовать хотя бы маленькая окрестность этой точки, в которой нет других особых точек. Это выполняется для каждой из точек Zk=1/(πk), но НЕ выполняется для Z=0. Потому что, когда k растёт, дробь стремится к 0, и полюс Zk неограниченно приближается к 0. Значит, нет никакой окрестности точки 0, где нет ни одного полюса. Если какая-нибудь точка изолированная, то найдётся маленький кружочек вокруг неё, свободный от (прочих) особых точек, а тогда в этом кружочке уже можно представить функцию рядом Лорана (или Тейлора, как частный случай).