Анфиса Гуренкова. Обобщённая задача Хорна

В классической задаче Хорна спрашивается, как связаны наборы собственных значений эрмитовых n × n матриц X, Y и X + Y ? Ответ на этот вопрос, угаданный А.Хорном и впервые доказанный в работах А.А.Клячко и А.Кнутсона-Т.Тао, представляет из себя систему линей- ных неравенств — неравенств Хорна. С тех пор появились и другие доказательства — например, Д.Спайера, А.Алексеева-М.Подкопаеваой-А.Сенеша, в которых используются идеи из тропической геометрии. Естественно спросить: а что будет, если складывать не две, а три или больше матриц? Оказывается, в этом случае ответ нелинеен уже в простейшем случае 2 × 2 матриц и описать его трудно. Куда проще решать тропическую версию задачи. Тропические собственные значения удовлетворяют линейным неравенствам, аналогичным неравенствам Хорна, и некоторым тропическим равенствам. Эти равенства воспроизводят рекуррентный алгоритм нахождения кристаллического ассоциатора из работы А.Энрикеса-Дж.Камницера. Объяснить это совпадение помогают геометрические кристаллы, изобретённые А.Беренштейном и Д.Кажданом.