Обратный Коши–Шварца в действии (введение)

Переворачиваем уравнение Коши–Шварца с ног на голову. Для положительных a_k,b_k 0 с $1\le \tfrac{a_k}{b_k}\le 2$, мы показываем $$ \Big(\sum a_k^2\Big)\Big(\sum b_k^2\Big)\le \frac{9}{8}\Big(\sum a_k b_k\Big)^2, $$ используя чистый «обратный шаг» $a_k^2+2b_k^2\le 3a_kb_k$ и AM–GM. Вы увидите идею, доказательство и случай равенства $a_k=2b_k$. Идеально подходит, если вам нравится уравнение Коши–Шварца, обратные методы Коши и олимпиадные неравенства.