Алгебра и геометрия 36. Эрмитовы квадратичные формы. Евклидовы и эрмитовы пространства
Лектор: Богданов Илья Игоревич Дата лекции: 30.03.2022 Съемка: Мятелин Андрей Монтаж: Зенина Дарья 0:00:00 - Введение 0:01:30 - Утверждение об определителе полуторалинейной фомы 0:03:43 - Соответсвие между эрм. и эрм.кв. формами биективно 0:11:48 - Опредение матрицы кв. эрм. формы 0:13:25 - Определение ядра эрмитовой формы, ортогонального дополнения, невырожденного подпр-ва 0:19:25 - Определения знакоопределенности для эрм. кв. форм 0:20:50 - Теоремы о каноническом виде матрицы эрмитовой квадратичной формы 0:27:55 - Аналогичные определения индексов инерции для эрмитовых кв. форм и закон инерции 0:29:10 - Замечание о вещественности главных миноров эрмитовой матрицы 0:30:00 - Метод Якоби и критерий Сильвестра для эрмитовых матриц 0:33:35 - Все подпр-ва невырождены относительно положительно опред. формы 0:36:25 - Определние евклидовых и эрмитовых пр-в -6.20 0:41:10 - Определение длины вектора 0:42:50 - Определение матрицы Грама для произвольной системы векторов 0:45:00 - Матрица Грама положительно полуопределена(положительно определена тогда и только тогда, когда система векторов - ЛНЗ) 0:53:00 - Нер-во Коши-Буняковского-Шварца 0:57:20 - Нер-во треугольника 1:00:35 - Заменание о случаях достижения равенства в этих нер-вах 1:02:55 - Определение угла между векторами 1:04:55 - Определение ортогональной систем векторов и подпр-в 1:07:35 - Ортогональные подпр-ва образуют прямую сумму 1:11:45 - Следствие о линейной независимости ортогональной системы векторов 1:12:45 - Теорема о существовании ортонормированного базиса 1:16:25 - Замечание о вычислении скалярного произведения в ОНБ 1:17:40 - Определение изоморфизма евклидовых (эрмитовых) пр-в 1:19:50 - Теорема об изоморфизме для евклидовых (эрмитовых) пр-в -15 1:27:30 - Определение ортогональной и унитарной матриц 1:29:00 - Ортогональные/унитарные матрицы задают переход от ОНБ к ОНБ 1:34:25 - Ортогональные/унитарные матрицы - группы по умножению 1:40:45 - Определение ортогональной проекции вектора на подпр-во 1:44:11 - Формула для вычисления ортогональной проекции 1:49:40 - Следствие о координатах вектора в ОНБ 1:51:10 - Теорема (||v u'|| больше ||v u||) 1:55:05 - Обобщение теоремы Пифагора для эрмитовых пр-в 1:56:50 - Определение расстояния от вектора до пр-ва 2:00:15 - Поиск ортогонального базиса и ОНБ (анонс)
